\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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%TCIDATA{Created=Sunday, November 02, 2003 19:31:49}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé 2}
\rhead{2003-2004}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages et de quatre
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill \medskip
\section*{Exercice 1}
On considère la suite $(u_{n})_{n}$ définie par $u_{0}=0$ et $\forall
n\geqslant 0,$ $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}.$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\forall n\geqslant 0,\quad u_{n}\in \lbrack 0,2].$
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,$ $0\leqslant 2-u_{n+1}\leqslant
\dfrac{1}{3}(2-u_{n}).$
\item En déduire que $\forall n\geqslant 0,$ $0\leqslant 2-u_{n}\leqslant
\dfrac{2}{3^{n}}.$
\item La suite $u$ est-elle convergente ? Si oui, donner sa limite.
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
On considère $x$ un réel positif et $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty
\lbrack $ par $\forall t>0,\quad f(t)=t\ln (1+\dfrac{x}{t}).$
\begin{enumerate}
\item Calculer $f^{\prime }(t)$ et $f"(t).$
\item Dresser le tableau de variation de $f^{\prime }$ sur $]0,+\infty
\lbrack $ (limites en $+\infty $ uniquement). \newline
En déduire le signe de $f^{\prime }$ sur $]0,+\infty \lbrack $ et le sens de
variation de $f$ sur $]0,+\infty \lbrack $.
\item A l'aide de fonctions convenables, montrer que $\forall y\geqslant
0,\quad y-\dfrac{y^{2}}{2}\leqslant \ln (1+y)\leqslant y.$
\item En déduire un encadrement de $f(t)$ puis $\underset{t\rightarrow
+\infty }{\lim }f(t).$
\item \underline{Application} : on considère la suite $u_{n}=(1+\dfrac{x}{n}%
)^{n}.$\newline
En remarquant que $\ln u_{n}=f(n),$ déterminer la monotonie de la suite $%
(u_{n})$ puis calculer $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}.$
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3}
On pose $\forall n\geqslant 1,\quad a_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{%
n+k}$
\begin{enumerate}
\item \underline{Convergence de la suite $a.$}
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ (on donnera les résultats sous forme de
fractions irréductibles).
\item Justifier que $a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n}$ puis é%
tudier le sens de variation de $(a_{n}).$
\item En déduire la convergence de la suite $(a_{n}).$
\end{enumerate}
\item \underline{Calcul de la limite.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\left( \ln
(x+1)-\ln x\right) $ puis montrer que
\begin{equation*}
\forall x>0,\quad \dfrac{1}{x+1}\leqslant \ln (x+1)-\ln x\leqslant \dfrac{1}{%
x}.
\end{equation*}
\item Comparer les trois nombres $\dfrac{1}{n+k+1},$ $\dfrac{1}{n+k}$et $\ln
(n+k+1)-\ln (n+k).$\newline
Comparer alors les trois sommes $\sum\limits_{k=0}^{n-2}\dfrac{1}{n+k+1},$ $%
\sum\limits_{k=0}^{n-2}\dfrac{1}{n+k}$et $\sum\limits_{k=0}^{n-2}\left( \ln
(n+k+1)-\ln (n+k)\right) .$
\item Calculer $\sum\limits_{k=0}^{n-2}\left( \ln (n+k+1)-\ln (n+k)\right) .$
\item Vérifier que $a_{n}-\dfrac{1}{n}=\sum\limits_{k=0}^{n-2}\dfrac{1}{n+k+1%
}$ et que $a_{n}-\dfrac{1}{2n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-2}\dfrac{1}{n+k}$
\item En déduire que $\forall n\geqslant 1,\quad \ln (2-\dfrac{1}{n})+\dfrac{%
1}{2n-1}\leqslant a_{n}\leqslant \ln (2-\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}.$
\item Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 4}
On considère la suite $u$ définie par $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_{n}^{2}-u_{n}+3$
avec $u_{0}\in \mathbb{R}$
\begin{enumerate}
\item \underline{Préliminaire}
\begin{enumerate}
\item Etudier le signe des trinômes $\dfrac{1}{3}x^{2}-x+3$ et $\dfrac{1}{3}%
x^{2}-2x+3.$
\item Démontrer que $\forall x\in \lbrack 0,3],\quad 0\leqslant \dfrac{1}{3}%
x^{2}-x+3\leqslant 3.$
\item Etudier la monotonie de $u.$
\end{enumerate}
\item \underline{Etude de la suite $u$ lorsque $u_{0}\in \lbrack 0,3]$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\geqslant 1,\quad u_{n}\in \lbrack 0,3].$
\item En déduire que la suite $u$ est convergente et calculer sa limite.
\end{enumerate}
\item \underline{Première étude de la suite $u$ lorsque $u_{0}>3.$}
\begin{enumerate}
\item Pourquoi est-on assuré que $\forall n\geqslant 0,\quad u_{n}\geqslant
u_{0}$ ?
\item La suite $u$ possède--t-elle une limite éventuelle ? Conclusion.
\end{enumerate}
\item \underline{Etude d'une suite auxiliaire}\newline
On considère la suite $w$ définie pour tout entier $n$ par
\begin{equation*}
w_{n+1}=2w_{n}-\ln 3\text{ avec }w_{0}\in \mathbb{R}.
\end{equation*}%
Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ et de $u_{0}.$
\item \underline{Calcul de la limite de la suite $u$ lorsque $u_{0}>6.$}%
\newline
On définit la suite $v$ par $:\forall n\geqslant 0,\quad v_{n}=u_{n}-3.$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}.$
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad \ln v_{n+1}\geqslant 2\ln
v_{n}-\ln 3.$
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad \ln v_{n}\geqslant w_{n}$ où $%
w $ est la suite définie à la question 4 avec pour condition initiale $%
w_{0}=\ln (v_{0}).$
\item Déterminer $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }w_{n}$ puis $%
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\ln v_{n}$ et $\underset{n\rightarrow
+\infty }{\lim }u_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}