\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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%TCIDATA{Created=Sunday, November 30, 2003 11:42:36}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé 3}
\rhead{2003-2004}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages, de deux
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 2h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill \medskip
\newpage
\section*{Exercice 1}
\noindent Karl et Pascal jouent au jeu suivant. Karl lance deux pièces é%
quilibrées. S'il obtient deux piles, Karl gagne. Sinon Pascal lance à son
tour les deux pièces et gagne s'il obtient deux faces. Dans le cas
contraire, Karl recommence à lancer les deux pièces. S'il obtient deux
piles, il gagne, sinon c'est au tour de Pascal et ainsi de suite jusqu'à
l'obtention du gagnant du jeu. \newline
Soit $k\in \mathbb{N},$ on pose $K_{k}$ : " Karl gagne au $(2k+1)$ ème
lancer " et $P_{k}:$ " Pascall gagne au $(2k)$ ème lancer "
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que Karl gagne au premier coup ?
\item Quelle est la probabilité que Pascal gagne au deuxième coup ?
\item Quelle est la probabilité que Karl gagne au troisième coup ?
\item Quelle est la probabilité $k_{n}$ que Karl gagne au coup numéro $2n+1$?
\item Quelle est la probabilité $p_{n}$ que Pascal gagne au coup numéro $2n$
?
\item Calculer la probabilité qu'un joueur gagne avant le $5^{\grave{e}me}$
coup.
\item Un joueur à gagner avant le $5^{\grave{e}me}$ coup. Calculer la
probabilité que cela soit Karl.
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
\noindent Une urne contient initialement une boule blanche et une boule
rouge.\newline
On effectue des tirages successifs d'une boule dans l'urne selon le
protocole suivant : \newline
après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l'urne puis on rajoute
dans l'urne, avant le tirage suivant, une boule de la couleur de la boule
que l'on vient de tirée.\newline
Pour tout enier naturel $n,$ on note $X_{n}$ la var égale au nombre de boule
blanche obtenues au cours des $n$ tirages. Par exemple, pour $n=3$ si l'on a
obtenue au premier tirage une boule blanche et aux deux autres tirages une
boule rouge alors $X_{3}=1$
\begin{enumerate}
\item \underline{Loi de $X_{2}$}
\begin{enumerate}
\item Pour $k\in \{0,1,2\},$ exprimer l'évènement $(X_{2}=k)$ à l'aide d'évè%
nements élémentaires.
\item Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_{2}.$
\end{enumerate}
\item \underline{Loi de $X_{3}$}
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X_{3}=0)$ et $P(X_{3}=3).$
\item En introduisant le système complet d'évènements $(X_{2}=0),$ $%
(X_{2}=1) $ et $(X_{2}=2),$ calculer $P(X_{3}=1)$ et $P(X_{3}=2)$.
\end{enumerate}
\item \underline{Loi de $X_{n}$ lorsque $n\geqslant 2.$}
\begin{enumerate}
\item Expliciter $X_{n}(\Omega )$ et calculer $P(X_{n}=0).$
\item Justifier convenablement que pour tout entier $k$ tel que $1\leqslant
k\leqslant n$
\begin{equation*}
P(X_{n}=k)=P[(X_{n}=k)\cap (X_{n-1}=k-1)]+P[(X_{n}=k)\cap (X_{n-1}=k)]
\end{equation*}
\item Calculer soigneusement $P_{(X_{n-1}=k-1)}(X_{n}=k)$ et $%
P_{(X_{n-1}=k)}(X_{n}=k).$
\item Montrer par récurrence sur $n\geqslant 2$ que $:\forall k\in \lbrack
\lbrack 1,n]],\quad P(X_{n}=k)=\dfrac{1}{n+1}.$
\item Donner l'espérance et la variance de $X_{n}$ (on rappelle que $%
\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}).$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}