\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{theorem}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Thursday, March 03, 2005 11:39:48}
%TCIDATA{LastRevised=Sunday, March 13, 2005 11:30:11}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\lhead{PHEC1}
\chead{devoir surveillé 4}
\rhead{2004-2005}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\noindent \textbf{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité
de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invité%
s à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs
calculs.\medskip }
\noindent \textbf{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ni d'AUCUNE
DISCUSSION sous peine d'annulation de leurs copies; seule l'utilisation
d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de
tout matériel électronique est interdite. Les téléphones portables doivent ê%
tre éteints.\medskip }
\noindent \textbf{Le devoir est composé de \pageref{fin} pages et de quatres
exercices indépendants qui peuvent être traités dans l'ordre souhaité par le
candidat.}
\noindent \textbf{Durée du devoir : 4h}
\begin{center}
\textbf{\ Bonne chance}
\end{center}
\noindent \hrulefill \bigskip
\section*{EXERCICE\ I (EML 1996)}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{e^{x}}{%
e^{2x}+1}$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et etudier les
variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\ell $.
\item Justifier que : $0\leqslant \ell \leqslant \dfrac{1}{2}$\newline
\textbf{Données numériques} : $e^{1/2}\simeq 1.65\pm 10^{-2}$ et $e\simeq
2.72\pm 10^{-2}$
\item Montrer que pour tout réel $x$ \underline{positif} : $0\leqslant
\left\vert f^{\prime }(x)\right\vert \leqslant f(x)$ puis que $f(x)\leqslant
\dfrac{1}{2}.$\newline
En déduire que $\forall x\geqslant 0,\quad \left\vert f^{\prime
}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}.$
\item Vérifier que $f\left( \left[ 0,\dfrac{1}{2}\right] \right) \subset %
\left[ 0,\dfrac{1}{2}\right] $
\end{enumerate}
\item On définit la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ par:
\begin{equation*}
u_{0}=0\qquad \text{et}\qquad \forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=f(u_{n})
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N},\quad u_{n}\in \lbrack 0,%
\dfrac{1}{2}]$
\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
\begin{equation*}
|u_{n+1}-\ell |\leqslant \dfrac{1}{2}|u_{n}-\ell |\qquad \text{puis que}%
\qquad |u_{n}-\ell |\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}
\end{equation*}
\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge vers $\ell $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{EXERCICE\ II (ESCP 1990)}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0,+\infty \lbrack $ par la
relation : $f(t)=\ln (1+t)+\dfrac{t^{2}}{1+t^{2}}.$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ \newline
(\emph{On n'hésitera pas à écrire }$f^{\prime }(t)$\emph{\ sous la forme }$%
\dfrac{A(t)}{(1+t)(1+t^{2})^{2}})$
\item Déterminer la limite du rapport $\dfrac{f(t)}{t}$ lorsque $t$ tend
vers $+\infty $. \newline
Tracer la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'équation : $%
(E_{n}):f(t)=\dfrac{1}{n}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $(E_{n})$ admet une solution $\alpha _{n}$ et
une seule.
\item Déterminer le sens de variation puis expliciter la limite de la suite $%
(\alpha _{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times }}$.
\item Déterminer la limite du rapport $\dfrac{f(t)}{t}$ lorsque $t$ tend
vers $0$ par valeurs strictement positives.\newline
En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{f(\alpha _{n})}{\alpha
_{n}}$ puis la limite de la suite $(n\alpha _{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times
}} $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{EXERCICE III (EDHEC\ 2004)}
Dans ce problème, la lettre $n$ désigne un entier naturel non nul.\newline
On note $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $%
f_{n}(x)=x^{2}\exp (-\dfrac{n^{2}}{x^{2}})$ si $x\neq 0$ et $f_{n}(0)=0$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{\times }$
et expliciter $f_{n}^{\prime }(x)$
\item Justifier que $f_{n}$ est continue en $0.$
\item Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac{1}{x}\exp (-%
\dfrac{n^{2}}{x^{2}})\right] $
\item Montrer que la fonction $f_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ non nul, calculer $f_{n}^{\prime }(x)$ puis étudier
son signe
\item Calculer les limites de $f_{n}$ en $+\infty $ et $-\infty $ puis
donner le tableau de variation de $f_{n}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Rappeler le développement limité à l'ordre $2$ de $e^{u}$ lorsque $u$
est au voisinage de 0.
\item En déduire que, lorsque $x$ est au voisinage de $+\infty $ ou au
voisinage de $-\infty $, on a :%
\begin{equation*}
f_{n}(x)\underset{x\rightarrow \pm \infty }{=}x^{2}-n^{2}+\dfrac{n^{4}}{%
2x^{2}}+o(\dfrac{1}{x^{2}}).
\end{equation*}
\item En déduire qu'au voisinage de $+\infty $, ainsi qu'au voisinage de $%
-\infty $, $(C_{n})$ admet une asymptote \textquotedblleft
oblique\textquotedblright\ $(D_{n})$ dont on donnera une équation.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un unique réel strictement positif, que l'on
notera $u_{n}$, tel que $f_{n}(u_{n})=1$.
\item Vérifier que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{\times }$, $u_{n}$ est
strictement supérieur à $1$
\item Montrer que pour $n\geqslant 2,\quad u_{n}\geqslant \dfrac{n}{\sqrt{%
2\ln n}}$ et en déduire la limite de la suite $u_{n}.$
\item Justifier que $u_{n}$ est solution de l'équation $(F_{n}):2x^{2}\ln
x=n^{2}$
\item Justifier la relation $2\ln u_{n}+\ln (\ln u_{n})+\ln 2=2\ln n$, puis
montrer que $\ln u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }\ln n$. \newline
En déduire, à l'aide de la question précédente, un équivalent de $u_{n}$
lorsque $n$ est au voisinage de $+\infty $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{EXERCICE\ IV (Ecricome 1996 adapté)}
On dispose de deux urnes A et B : initialement l'urne A contient $N$ boules
noires tandis que l'urne B contient $N$ boules blanches, avec $N\geqslant 2.$
On y effectue une suite d'épreuves, chaque épreuve étant réalisée de la faç%
on suivante :\newline
On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, la boule tirée de
l'urne A est mise dans B, celle tirée de B est mise dans A.\newline
On appelle $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires pré%
sentes dans l'urne A à l'issue de la $k^{i\grave{e}me}$ épreuve et l'on pose
$Z_{k}=Y_{k-1}-Y_{k},$ pour $k$ entier naturel non nul, avec la convention $%
Y_{0}=N$.\newline
On remarquera que $Z_{k}$ représente la différence algébrique de boules
noires dans l'urne A entre la fin de la $(k-1)^{i\grave{e}me}$ épreuve et la
$k^{i\grave{e}me}$ épreuve
\subsubsection*{Partie 1 : Etude du cas particulier $N=2$}
Ainsi, la variable $Y_{k}$ prend ses valeurs dans $\{0,1,2\}.$\newline
On pose $a_{k}=p(Y_{k}=0),$ $b_{k}=P(Y_{k}=1)$ et $c_{k}=P(Y_{k}=2).$ En
particulier, $a_{0}=0,$ $b_{0}=0$ et $c_{0}=1.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $Y_{1}$
\item Calculer les neuf probabilités conditionnelles $%
P_{(Y_{k}=j)}(Y_{k+1}=i)$ lorsque $i\in \{0,1,2\}$ et $j\in \{0,1,2\}$%
\newline
(\emph{c'est-à-dire, calculer }$P_{(Y_{k}=0)}(Y_{k+1}=0),$\emph{\ }$%
P_{(Y_{k}=0)}(Y_{k+1}=1),$\emph{\ etc. et on justifiera rapidement les
calculs})
\item Exprimer $a_{k+1}$ en fonction de $a_{k},b_{k}$ et $c_{k}.$ Faire de mê%
me avec $b_{k+1}$ et $c_{k+1}.$
\item Explicitation des suites $(a_{k})_{k},$ $(b_{k})_{k}$ et $(c_{k}).$
\begin{enumerate}
\item Que vaut $a_{k}+b_{k}+c_{k}$ ? En déduire que $\forall k\in \mathbb{N}%
,\quad b_{k+1}=1-\dfrac{1}{2}b_{k}.$
\item Exprimer $b_{k}$ en fonction de $k$ puis $a_{k+1}$ et $c_{k+1}$ en
fonction de $k.$ En déduire l'expression de $a_{k}$ et $b_{k}$ lorsque $k\in
\mathbb{N}^{\times }.$
\end{enumerate}
\item Montrer que l'espérance $E(Y_{k})$ de la variable $Y_{k}$ est
constante.
\item Calculer la variance $V(Y_{k})$ de la variable $Y_{k}$ en fonction de $%
k$ et sa limite quand $k$ tend vers $+\infty .$
\item Etude de la loi de $Z_{k}$ lorsque $k\geqslant 1.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $Z_{k}(\Omega ).$
\item Quelle est l'espérance de $Z_{k}$ ?
\item Donner la loi de $Z_{k}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsubsection*{Partie 2 : Etude de $E(Y_{k})$ et $E(Z_{k})$ lorsque $N=5$}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Z_{k}(\Omega )=\{-1,0,1\}$. Calculer les probabilités
conditionnelles :%
\begin{equation*}
P(Z_{k}=1/Y_{k-1}=j)\text{ et }P(Z_{k}=-1/Y_{k-1}=j)
\end{equation*}%
pour $j\in \lbrack \hspace{-0.15em}[0,5]\hspace{-0.13em}]$ et $k\in \mathbb{N%
}^{\times }.$
\item En appliquant la formule des probabilités totales avec le système
complet d'évènements \newline
$(Y_{k-1}=0),(Y_{k-1}=1),...,(Y_{k-1}=5),$ exprimer $P(Z_{k}=1)$ et $%
P(Z_{k}=-1)$ en fonction des probabilités $%
P(Y_{k-1}=0),P(Y_{k-1}=1),...,P(Y_{k-1}=5).$
\item En déduire que $\forall k\in \mathbb{N}^{\times },\qquad E(Z_{k})=%
\dfrac{2}{5}E(Y_{k-1})-1.$
\item Justifier alors que la suite $(E(Y_{k}))_{k}$ est arithmético-géomé%
trique.
\item Donner l'expression de $E(Y_{k})$ et de $E(Z_{k})$ en fonction de $k$.
\item Montrer que les suites $(E(Y_{k}))_{k\in \mathbb{N}^{\times }}$ et $%
(E(Z_{k}))_{k\in \mathbb{N}^{\times }}$ sont convergentes et donner leur
limite quand $k$ tend vers $+\infty .$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}