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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir à la maison 1}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
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\begin{document}
\section*{Exercice 1}
Soit $(\alpha _{n})_{n\geqslant 0}$ la suite définie par $\alpha _{n+2}=%
\sqrt{\alpha _{n+1}\alpha _{n}}$ avec $\alpha _{0}=1$ et $\alpha _{1}=8.$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\alpha _{n}>0$ pour tout entier naturel $n\geqslant 0$
\newline
Indication : on posera l'hypothèse de récurrence $P_{n}:$ " $\alpha _{n}>0$
et $\alpha _{n+1}>0$ "
\item Vérifier que la suite $u$ définie par $u_{n}=\ln \alpha _{n}$ vérifie $%
:\forall n\geqslant 0,\quad u_{n+2}=\dfrac{1}{2}(u_{n+1}+u_{n}).$
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n.$
\item En déduire que la suite $u$ converge puis justifier que $\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }\alpha _{n}=4.$
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
On considère la suite $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par $u_{n+1}=\dfrac{1%
}{n+1}-u_{n}$ et $u_{0}=\ln 2.$
On rappelle que $\ln 2\simeq 0,7.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1},u_{2}$ et $u_{3}.$
\item On admet que $\forall n\geqslant 0,\quad u_{n}\geqslant 0.$ Démontrer
que $\forall n\geqslant 1,\quad u_{n}\leqslant \dfrac{1}{n}.$
\item Justifier que la suite $u$ converge et expliciter sa limite.
\item On introduit la suite $w_{n}=(-1)^{n-1}u_{n}.$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\forall n\geqslant 0,\quad w_{n+1}=w_{n}+\dfrac{(-1)^{n}%
}{n+1}$
\item Démontrer que $\forall n\geqslant 1\qquad w_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}%
\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}-\ln 2.$
\item En déduire $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\sum%
\limits_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Problème}
Soit $u$ la suite définie par $u_{n+1}=\dfrac{1+2u_{n}}{2+u_{n}}$ avec $%
u_{0}=2.$
\begin{enumerate}
\item \underline{Etude préliminaire} :
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad u_{n}\geqslant 1.$
\item Démontrer que la suite $u$ possède une unique limite éventuelle et
expliciter cette limite.
\end{enumerate}
La suite de l'exercice est consacrée à l'étude de la convergence de la
suite. $u$ On propose deux approches différentes.
\item \underline{Première méthode }:
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+1}$ définie une suite géomé%
trique.
\item Expliciter l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ puis donner
l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n.$
\item Montrer que la suite $u$ converge et déterminer sa limite$.$
\end{enumerate}
\item \underline{Deuxième méthode} :
\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f(x)=\dfrac{1+2x}{2+x}-x$ selon les diffé%
rentes valeurs de $x.$
\item Etudier la monotonie de $(u_{n})_{n}.$
\item Prouver que la suite $u$ converge et expliciter $\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}