\documentclass[a4paper,french,11pt,landscape]{article}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir à la maison 6}
\rhead{2003-2004}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
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\begin{document}
{\large L'objectif de ce devoir à la maison est de démontrer la convergence
des séries usuelles et de justifier le calcul de leurs sommes.}
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\begin{exercise}
Séries géométriques. Soit $x\in ]-1,1[$. On pose $S_{n}(x)=\sum%
\limits_{k=0}^{n}x^{k}.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_{n}(x).$ En déduire que la suite $(S_{n}(x))_{n\geqslant
0} $ converge et expliciter sa limite.
\item Calculer de deux façons distinctes la dérivée $S_{n}^{\prime }(x).$
\item En déduire que $\sum\limits_{k=0}^{n}kx^{k}=x.\dfrac{%
nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}.$
\item Déterminer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }nx^{n}.$
\item Montrer que la série $\sum\limits_{n\geqslant 0}nx^{n}$ converge et
que $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }nx^{n}=\dfrac{x}{(1-x)^{2}}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Série de Riemann. On fixe $\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{\times }$ et on pose $%
S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{\alpha }}.$
\begin{enumerate}
\item Questions préliminaires :
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad
\int\limits_{n+1}^{n+2}\dfrac{dt}{t^{\alpha }}\leqslant \dfrac{1}{%
(n+1)^{\alpha }}\leqslant \int\limits_{n}^{n+1}\dfrac{dt}{t^{\alpha }}.$
\item Montrer que $\forall n\geqslant 1,\quad \int\limits_{1}^{n+1}\dfrac{dt%
}{t^{\alpha }}\leqslant S_{n}\leqslant 1+\int\limits_{1}^{n}\dfrac{dt}{%
t^{\alpha }}.$
\item Calculer $\int\limits_{1}^{n}\dfrac{dt}{t^{\alpha }}.$
\end{enumerate}
\item On suppose $\alpha =1.$ Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}S_{n}=+\infty $ et donner un équivalent de $S_{n}.$
\item On suppose $\alpha \in ]0,1[.$ Comparer $\dfrac{1}{k^{\alpha }}$ et $%
\dfrac{1}{k}.\medskip $\newline
Montrer que $\forall n\geqslant 1,\quad S_{n}\geqslant \sum\limits_{k=1}^{n}%
\dfrac{1}{k}$ et en déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }S_{n}.$
\item On suppose $\alpha >1.$
\begin{enumerate}
\item Donner la monotonie de la suite $S_{n}.$
\item Montrer que $S_{n}$ est majorée par $\dfrac{\alpha }{\alpha -1}.$
\item Montrer que la suite $(S_{n})_{n\geqslant 1}$ converge et que $%
\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha }}\leqslant \dfrac{\alpha }{%
\alpha -1}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Série exponentielle.\newline
On pose pour tout entier $n\geqslant 0$ et tout réel $x,$ $%
I_{n}(x)=\int\limits_{0}^{x}\dfrac{(x-t)^{n}}{n!}e^{t}dt$
\begin{enumerate}
\item Etude la suite $u_{n}(x)=\dfrac{x^{n}}{n!}$ lorsque $x\neq 0.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{u_{n+1}(x)}{%
u_{n}(x)}.$
\item En déduire qu'il existe $N\geqslant 0,$ tel que $\forall n\geqslant
N,\quad \left\vert u_{n+1}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\left\vert
u_{n}(x)\right\vert .$
\item Montrer que $\forall n\geqslant N,\quad \left\vert u_{n}(x)\right\vert
\leqslant (\dfrac{1}{2})^{n-N}\left\vert u_{N}(x)\right\vert .$ En déduire $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}(x)$
\end{enumerate}
\item Etude de la suite $(I_{n}(x)).$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall x\in \mathbb{R},\quad \left\vert
I_{n}(x)\right\vert \leqslant \dfrac{x^{n}}{n!}e^{x}.$ en déduire $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}(x).$
\item Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad I_{n+1}=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}%
+I_{n}.$
\item En déduire que $\forall n\geqslant 0,\quad e^{x}=\sum\limits_{k=0}^{n}%
\dfrac{x^{k}}{k!}+I_{n}(x)$
\end{enumerate}
\item Justifier que la série $\sum\limits_{n\geqslant 0}\dfrac{x^{n}}{n!}$
converge et donner sa somme.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\label{fin}%
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\end{document}