\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{PHEC1}
\chead{devoir à la maison 1}
\rhead{2004-2005}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Prérequis}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithme}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiome}
\newtheorem{case}[theorem]{Cas}
\newtheorem{claim}[theorem]{Affirmation}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Critèrion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercice}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problème}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Sommaire}
\newenvironment{proof}[1][Preuve]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
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\begin{document}
\begin{exercise}
Calculer les sommes suivantes :%
\begin{equation*}
A_{n}=\sum\limits_{p=2}^{n}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{p},\quad
B_{n}=\sum\limits_{k=3}^{n+1}\dfrac{2^{k}}{3^{k+2}},\quad
C_{N}=\sum\limits_{n=1}^{N}\left( 5\times 2^{n}+2\times 3^{2n}\right) ,\quad
D_{k}=\sum\limits_{n=3}^{2k}2^{3n+1}\times \dfrac{3^{n+1}}{4^{n}}
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Soit $u$ une suite telle que $\forall n\geqslant 0,\quad 3u_{n+1}-2u_{n}=1.$
\newline
Calculer $\sum\limits_{k=0}^{n}u_{k}.$
\end{exercise}
\begin{exercise}
Soit $u$ la suite définie par $\forall n\in \mathbb{N},\quad
3u_{n+2}-5u_{n+1}+2u_{n}=0$ avec $u_{0}=2$ et $u_{1}=3.$ \newline
Calculer $\sum\limits_{k=2}^{2004}u_{k}$
\end{exercise}
\begin{exercise}
Vérifier rapidement les égalités suivantes :
\begin{gather*}
\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1},\qquad \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=%
\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{2}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}\right) , \\
\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\dfrac{1}{6}\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{3}{k+1}+%
\dfrac{3}{k+2}-\dfrac{1}{k+3}\right)
\end{gather*}%
Calculer les sommes suivantes
\begin{enumerate}
\item $S_{n}=$ $\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$
\item $T_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$
\item $R_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\thinspace On souhaite déterminer toutes les suites $w_{n}$ vérifiant
\begin{equation*}
(E):\quad \forall n\geqslant 0,\quad w_{n+2}-2w_{n+1}+w_{n}=3n-1
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un, et un seul, couple de réels $(a,b)$ tel que
la suite $u_{n}=an^{3}+bn^{2}$ satisfait à $(E).$
\item On considère la suite $z$ définie par $\forall n\geqslant 0,\quad
z_{n}=w_{n}-u_{n},$ où $w$ est une suite satisfaisant à $(E)$ et $u$ est la
suite définie à la question précédente.\newline
Montrer que $\forall n\geqslant 0,\quad z_{n+2}-2z_{n+1}+z_{n}=0.$ En dé%
duire la forme de la suite $z$ puis celle de $w.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\label{fin}
\end{document}