\documentclass[a4paper,french]{article}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir à la maison 10}
\rhead{2004-2005}
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\lfoot{\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
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\newenvironment{proof}[1][Preuve]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
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\begin{document}
\begin{exercise}
Soit $x$ un réel positif, on pose $I_{n}=\dfrac{1}{n!}\int%
\limits_{0}^{x}(x-t)^{n}e^{t}dt.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad 0\leqslant I_{n}\leqslant
\dfrac{x^{n}}{n!}e^{x}$
\item Justifier que $\forall n\in \mathbb{N},\quad I_{n}=\dfrac{x^{n+1}}{%
(n+1)!}+I_{n+1}$ puis $\forall n\in \mathbb{N},\quad
I_{n}=e^{x}-\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!}$
\item En déduire que $\forall n\in \mathbb{N},\quad \sum\limits_{k=0}^{n}%
\dfrac{x^{k}}{k!}\leqslant e^{x}$
\item Montrer que la suite $\left( \sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!}%
\right) _{n\in \mathbb{N}}$ est croissante puis qu'elle converge.
\item En remarquant que $\dfrac{x^{n}}{n!}=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}%
}{k!}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{k}}{k!},$ déterminer $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{n}}{n!}.$
\item A l'aide des questions précédentes, déterminer les limites suivantes :
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n},$ $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }\left( \sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!}\right) .$\newline
Qu'en déduit-on sur la convergence de la série $\sum\limits_{n\geqslant 0}%
\dfrac{x^{n}}{n!}$ et sur sa somme ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Soit $x$ un réel appartenant à $[0,1[,$ on souhaite étudier la convergence
de la série $\sum\limits_{n\geqslant 1}\dfrac{x^{n}}{n}.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad \forall t\in \lbrack
0,x],\quad \sum\limits_{k=0}^{n}t^{k}=\dfrac{1}{1-t}-\dfrac{t^{n+1}}{1-t}.$
\item En intégrant sur $[0,x],$ en déduire que $\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{%
x^{k+1}}{k+1}=-\ln (1-x)-\int\limits_{0}^{x}\dfrac{t^{n+1}}{1-t}dt$
\item Justifier que $\forall x\in \lbrack 0,1[,\quad 0\leqslant
\int\limits_{0}^{x}\dfrac{t^{n+1}}{1-t}dt\leqslant \dfrac{1}{(n+2)(1-x)}.$
\item En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\int\limits_{0}^{x}%
\dfrac{t^{n+1}}{1-t}dt$, $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$ puis $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }\sum\limits_{k=1}^{n+1}\dfrac{x^{k}}{k}$
\item Que peut-on dire de la série $\sum\limits_{n\geqslant 1}\dfrac{x^{n}}{n%
}$ et de sa somme éventuelle ?
\item Calculer la somme suivante $\sum\limits_{k=1}^{+\infty }\dfrac{1}{%
n2^{n}}.$
\item Une application aux probabilités : \newline
On considère une collection infinie d'urnes $(U_{n})_{n\in \mathbb{N}%
^{\times }},$ où l'urne $U_{n}$ contient $n$ boules dont une et une seule
boule blanche.\newline
On dispose également d'une pièce équilibrée. \newline
On lance autant de fois que nécessaire la pièce jusqu'à l'obtention du
premier "Pile".\newline
On note $X$ le nombre de lancers nécessaires.\newline
Ensuite, si l'on a eu besoin de $k$ lancers, on pioche une et une seule
boule dans l'urne $U_{k}$
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $X$.
\item Calculer la probabilité d'obtenir une boule blanche.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\label{fin}
\end{document}