\documentclass[a4paper,french]{article}
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\lhead{PHEC1}
\chead{devoir à la maison n°6 bis }
\rhead{2005-2006}
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\lfoot{\href{http://abdellah.bechata.free.fr}{www.mathematiques.fr.st}}
\rfoot{abdellah bechata}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
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\begin{document}
\section*{ESSEC\ 1995 E1}
On désigne par n un nombre entier naturel non nul et l'on se propose d'é%
tudier les racines de l'équation \newline
$e^{x}=x^{n}$, que l'on note $(E_{n})$. À cet effet, on introduit la
fonction $f_{n}$ définie par : $f_{n}(x)=1-x^{n}e^{-x}.$
\begin{enumerate}
\item \underline{Étude des racines positives des équations $(E_{1})$ et $%
(E_{2}).$}
\begin{enumerate}
\item Étudier et représenter sur $[0;+\infty \lbrack $ les fonctions $f_{1}$
et $f_{2}$.
\item Étudier l'existence de racines positives pour les équations $(E_{1})$
et $(E_{2})$.
\end{enumerate}
\item \underline{Étude des racines positives de l'équation $(E_{3})$ }
\begin{enumerate}
\item Étudier et représenter sur $[0;+\infty \lbrack $ la fonction $f_{3}$.%
\newline
En déduire que l'équation $(E_{3})$ admet deux racines positives u et v
telles que $11$ : $g(x)=x-\ln (x).$ Montrer (à l'aide
d'un théorème dont on rappellera l'énoncé) que g réalise une bijection de $%
]1;+\infty \lbrack $ sur $]1;+\infty \lbrack $.\newline
Établir que $g(v_{n}/n)=\ln (n)$, montrer à l'aide de $g^{-1}$ (bijection ré%
ciproque de g ) que $v_{n}/n$ tend vers $+\infty $, puis en déduire un
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}