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\chead{devoir à la maison n°7 bis}
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\begin{document}
\section*{Ecricome 2006 Option S}
On effectue une succession infinie de lancers indépendants d'une pièce
donnant Pile avec la probabilité $p\in ]0,1[$ et Face avec la probabilité $%
q=1-p$.\newline
On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un mê%
me côté.\newline
On dit que la première série est de longueur $n\geqslant 1$ si les $n$
premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le $(n+1)$-ième
l'autre côté.\newline
De même la deuxième série commence au lancer suivant la fin de la première sé%
rie et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de c%
ôté.\newline
On définit de même les séries suivantes. $\Omega $ désigne l'ensemble des
successions infinies de Pile ou Face. Pour $i\in \mathbb{N}^{\times }$, on
note $P_{i}$ l'événement «\ le $i$-ième lancer amène Pile »\ et $F_{i}$ l'évé%
nement contraire. Les deux parties sont indépendantes.
\subsection*{I. Etude des longueurs de séries.}
\begin{enumerate}
\item On note $L_{1}$ la longueur de la première série.\newline
Exprimer l'événement $(L_{1}=n)$ à l'aide des événements $P_{i}$ et $F_{i}$
pour $i$ entier naturel variant entre $1$ et $n+1$.\newline
En déduire que $P(L_{1}=n)=p^{n}q+q^{n}p.$ \quad Vérifier que $%
\sum\limits_{n=1}^{+\infty }P(L_{1}=n)=1$
\item On note $L_{2}$ la longueur de la deuxième série.
\begin{enumerate}
\item Exprimer l'événement $(L_{1}=n)\cap (L_{2}=k)$ à l'aide des événements
$P_{i}$ et $F_{i}$ pour $i$ entier naturel variant entre $1$ et $n+k+1$ puis
calculer la probabilité de l'événement $(L_{1}=n)\cap (L_{2}=k)$.
\item En déduire que, pour $k\in \mathbb{N}^{\times }$, $%
P(L_{2}=k)=p^{2}q^{k-1}+q^{2}p^{k-1}.$ \quad On admet que $%
\sum\limits_{k=1}^{+\infty }P(L_{2}=k)=1$
\item Montrer que la variable aléatoire $L_{2}$ admet une espérance égale à $%
2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{II. Etude du nombre de séries lors des $n$ premiers lancers.}
On considère dans toute cette partie que la pièce est \textbf{équilibrée,
c'est-à-dire que }$p=\dfrac{1}{2}$.\newline
On note $N_{n}$ le nombre de séries \textbf{lors des }$n$\textbf{\ premiers
lancers} :
\begin{itemize}
\item La première série est donc de longueur $k