%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 1995}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve de Mathématiques}\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. \bigskip
\section*{PROBLEME 1}
\textit{Les parties II et III sont ind{é}pendantes et utilisent les r{é}%
sultats {é}tablis {à} la partie I.} \smallskip \newline
\textbf{Notations}: une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur
l'intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ est une fonction d{é}rivable sur $I$, dont
la d{é}riv{é}e $f^{\prime }$ est continue sur $I$. \bigskip
\subsection*{PARTIE I}
\begin{enumerate}
\item On définit la fonction $\varphi $ sur $\left[ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{%
\pi }{2}\right] $ par: $\varphi (t)={\dfrac{1}{t}}-{\dfrac{1}{\sin t}}$ si $%
t\neq 0$ et $\varphi (0)=0$.
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Donner le d{é}veloppement limit{é} de $\varphi $ au voisinage de 0 {à}
l'ordre 4.
\item En déduire que $\varphi $ est continue et dérivable en 0. Préciser $%
\varphi ^{\prime }(0)$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $\varphi $ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left[ -%
\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}\right] $.
\item Soit la fonction $\psi $ d{é}finie sur $\left[ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{%
\pi }{2}\right] $ par: $\psi (t)={\dfrac{t}{\sin t}}$ si $t\neq 0$ et $\psi
(0)=1$.\medskip\ \newline
Montrer que $\psi $ est une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left[
-\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}\right] $. Pr{é}ciser $\psi ^{\prime }(0)$.
\end{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ r{é}els tels que $ax>0$. Montrer que: $\left\vert
\dint\limits_{x}^{y}{\dfrac{\sin t}{t}}\,dt\right\vert \leqslant {\dfrac{2}{x%
}}$. (On effectuera une int{é}gration par parties).
\item En d{é}duire que: $\forall x>0,\quad \left\vert \ell -F(x)\right\vert
\leqslant {\dfrac{2}{x}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE III}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item D{é}terminer deux r{é}els $\alpha $ et $\beta $, \underline{indé%
pendants de $n$}, tels que:
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^{\times },\quad \dint\limits_{0}^{\pi }(\alpha
t+\beta t^{2})\cos (nt)\,dt={\dfrac{1}{n^{2}}}.
\end{equation*}%
($\alpha $ et $\beta $ sont d{é}sormais ainsi fix{é}s).
\item En d{é}duire que $2\dsum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k^{2}}}%
-\dint\limits_{0}^{\pi }(\alpha t+\beta t^{2})S_{n}\left( {\dfrac{t}{2}}%
\right) \,dt$ est un r{é}el ind{é}pendant de $n$, que l'on pr{é}cisera.
\item On d{é}finit la fonction $h$ sur $]0,\pi ]$ par: $h(t)={\dfrac{(\alpha
t+\beta t^{2})}{\sin ({\dfrac{t}{2}})}}$.\medskip \newline
Montrer que $h$ se prolonge en une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $%
[0,\pi ]$.
\end{enumerate}
\item On d{é}finit les suites $u_{n}=\dsum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k^{2}}}
$, ($n\geqslant 1$) et $v_{n}=\dsum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{(2k+1)^{2}}}$
($n\geqslant 0$).
\begin{enumerate}
\item D{é}duire des questions pr{é}c{é}dentes que la suite $%
(u_{n})_{n\geqslant 1}$ converge et donner sa limite.
\item Montrer que la suite $(v_{n})_{n\geqslant 0}$ converge et d{é}terminer
sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME 2}
\subsection*{Notations:}
$n$ est un entier naturel fix{é}, $n\geqslant 2$. \medskip \newline
$\mathcal{F}$ est l'espace vectoriel des fonctions r{é}elles d{é}finies sur $%
\mathbb{R}$. \medskip \newline
$E$ est le sous-espace vectoriel des fonctions polyn{ô}mes {à} coefficients r%
{é}els. \medskip \newline
$E_{n}$ est le sous-espace vectoriel des fonctions polyn{ô}mes {à}
coefficients r{é}els, de degr{é} inf{é}rieur ou {é}gal {à} $n$.
\subsection*{PARTIE I}
Si $f\in \mathcal{F}$, on note $\Delta (f)$ et $T(f)$ les fonctions r{é}%
elles d{é}finies par:
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:\Delta (f)(x)=f(x+1)-f(x),\quad \text{et}\quad
T(f)(x)=f(x+1)
\end{equation*}%
On admettra (ais{é}ment!) que $\Delta $ et $T$ sont des endomorphismes de $%
\mathcal{F}$. \medskip \newline
On note $\Delta ^{0}=T^{0}=\func{Id}_{\mathcal{F}}$ (donc, si $f\in \mathcal{%
F}$, $\Delta ^{0}(f)=T^{0}(f)=f$), et, si $j\in \mathbb{N}$, $j\geqslant 1$,%
\begin{equation*}
\Delta ^{j}=\Delta ^{j-1}\circ \Delta =\Delta \circ \Delta ^{j-1},\quad
T^{j}=T^{j-1}\circ T=T\circ T^{j-1}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $P\in E$, non constant. $\Delta (P)$ est une fonction polyn{ô}me.
\medskip \newline
Comparer les degr{é}s de $\Delta (P)$ et de $P$. \medskip \newline
Calculer le coefficient dominant de $\Delta (P)$ en fonction de celui de $P$.
\item V{é}rifier que $\Delta $ induit un endomorphisme de $E_{n}$, not{é} $%
\Delta _{n}$.
\end{enumerate}
\item *\thinspace
\begin{enumerate}
\item D{é}terminer $\ker \Delta _{n}$. \smallskip
\item En d{é}duire le rang de $\Delta _{n}$. D{é}terminer $\dim \Delta _{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item Pour $k\in \mathbb{N}$, on d{é}finit les fonctions polyn{ô}mes $N_{k}$
par:
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad N_{0}(x)=1\quad \text{et}\quad N_{k}(x)={%
\dfrac{x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k!}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Pour $k\geqslant 1$, exprimer $\Delta (N_{k})$ en fonction des polyn{ô}%
mes $(N_{j})_{j\geqslant 0}$.
\item Calculer, pour $j\in \mathbb{N}$ et $k\in \mathbb{N}$, $\Delta
^{j}(N_{k})$, puis $\left( \Delta ^{j}(N_{k})\right) (0)$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que la famille $(N_{0},N_{1},...,N_{n})$ est une base de $%
E_{n} $.
\item Soit $P\in E_{n}$. $P$ s'{é}crit $P=a_{0}N_{0}+a_{1}N_{1}+\cdots
+a_{n}N_{n}$ o{ù} $(a_{0},a_{1},...,a_{n})\in \mathbb{R}^{n+1}$. \newline
Exprimer les $a_{j}$ en fonction des $\left( \Delta ^{j}(P)\right) (0)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soient $k\in \mathbb{N}$ et $f\in \mathcal{F}$. D{é}terminer pour $%
x\in \mathbb{R}$, $\left( T^{k}(f)\right) (x)$.
\item Soit $j\in \mathbb{N}$. Soit $f\in \mathcal{F}$.
\begin{enumerate}
\item Expliciter $\Delta ^{j}(f)$ en fonction des $T^{k}(f)$, $0\leqslant
k\leqslant j$. (On pourra remarquer que $\Delta =T-\func{Id}_{\mathcal{F}}$).
\item En d{é}duire que $\left( \Delta ^{j}(f)\right) (0)$ ne d{é}pend que
des valeurs de $f$ aux points $0,1,...,j$: $f(0),f(1),...,f(j)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{PARTIE II}
On se donne une fonction $f$ de $\mathcal{F}$. On cherche les polyn{ô}mes
solutions du probl{è}me $(\mathcal{P})$ suivant:
\begin{equation*}
(\mathcal{P})\quad \left\{
\begin{array}{l}
\deg P\leqslant n \\
\forall k\in \{0,1,...,n\},\qquad P(k)=f(k)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
On pose $N(x)=\prod\limits_{j=0}^{n}(x-j)=x(x-1)\cdots (x-n)$. \medskip
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit l'application lin{é}aire $\Phi $: $\left.
\begin{array}{ccl}
E_{n} & \rightarrow & \mathbb{R}^{n+1} \\
P & \mapsto & \left( P(0),..,P(n)\right)%
\end{array}%
\right. $\medskip \newline
Montrer que $\Phi $ est un isomorphisme.
\item En d{é}duire que le probl{è}me $(\mathcal{P})$ poss{è}de une nuique
solution not{é}e $P_{f}$.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Pour $j\in \{0,1,...,n\}$, comparer $\left( \Delta ^{j}(f)\right) (0)$
et $\left( \Delta ^{j}(P_{f})\right) (0)$.
\item En d{é}duire l' expression de $P_{f}$ en fonction des $\left( \Delta
^{j}(f)\right) (0)$ et des polyn{ô}mes $N_{j}$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}%
^{n+1}$. \medskip \newline
On note $M_{n}=\sup \left\{ \left\vert f^{(n+1)}(t)\right\vert ,\quad t\in
\lbrack 0,n]\right\} $.
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \lbrack 0,n]$, non entier. Montrer que: $\exists \,c\in %
\left] 0,n\right[ \quad /\quad f(x)-P_{f}(x)={\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}%
N(x)$. \newline
(On pourra poser $\varphi (t)=f(t)-P_{f}(t)-KN(t)$, o{ù} $K$ est tel que $%
\varphi (x)=0$, et appliquer judicieusement le th{é}or{è}me de Rolle).
\item En d{é}duire que: $\forall x\in \lbrack 0,n],\left\vert
f(x)-P_{f}(x)\right\vert \leqslant {\dfrac{1}{n+1}}M_{n}$. \newline
(On pourra majorer $\left\vert N(x)\right\vert $ sur chaque intervalle $%
[j,j+1]$, o{ù} $j\in \{0,1,...,n-1\}$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}