%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 1997}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve spécifique de Mathématiques}\bigskip
{\large Classements SUP (MPSI, PCSI, PTSI) et SPE (MP, PC, PT, PSI)}\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
\bigskip
\section*{PREMIER\ PROBLEME}
Dans tout ce problème, $\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels.
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $4$, et soit $%
B=(e_{1},e_{2},e_{3},e_{4})$ une base de $E$. On considère les vecteurs :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
f_{1}=e_{1}+e_{2}-e_{3}+e_{4} \\
f_{2}=e_{1}+e_{3} \\
f_{3}=-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4} \\
f_{4}=e_{2}-e_{4}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Soit $s$ l'endomorphisme de $E$ ayant pour matrice dans la base $B$ :
\begin{equation*}
S={\dfrac{1}{2}}%
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $s$ est la symétrie par rapport au plan $F$ de base $%
(f_{1},f_{2})$, parallèlement au plan $G$ de base $(f_{3},f_{4})$. \medskip
\newline
Déterminer sans calcul la matrice $S^{-1}$.
\item Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $4$, on pose $e_{i}^{\prime
}=s(e_{i})$. Soit $B^{\prime }=(e_{1}^{\prime },e_{2}^{\prime
},e_{3}^{\prime },e_{4}^{\prime })$. \medskip \newline
Justifier le fait que $B^{\prime }$ est une base de $E$.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels. On note $u_{a,b}$ l'endomorphisme de $E$
ayant pour matrice dans la base $B^{\prime }$ :
\begin{equation*}
D(a,b)=%
\begin{pmatrix}
(a+b)^{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & (a-b)^{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a^{2}-b^{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & a^{2}-b^{2}%
\end{pmatrix}%
.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$
pour que $u_{a,b}$ soit inversible.
\item Lorsque cette condition est remplie, déterminer la matrice de $\left[
u_{a,b}\right] ^{-1}$ dans la base $B^{\prime }$. \newline
(On calculera ses coefficients et on l'exprimera à l'aide de $D(a,-b)$).
\end{enumerate}
\item Soit $M(a,b)$ la matrice de $u_{a,b}$ dans la base $B$. Montrer que $%
M(a,b)=%
\begin{pmatrix}
a^{2} & ab & ab & b^{2} \\
ab & a^{2} & b^{2} & ab \\
ab & b^{2} & a^{2} & ab \\
b^{2} & ab & ab & a^{2}%
\end{pmatrix}%
$. \newline
(On justifiera et on détaillera les calculs). \medskip \newline
\textbf{On désigne désormais par }$L$\textbf{\ l'ensemble des matrices }$%
M(a,b)$\textbf{\ quand }$(a,b)$\textbf{\ décrit} $\mathbb{R}^{2}$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer $\left[ M(a,b)\right] ^{-1}$ lorsque $M(a,b)$ est inversible
et montrer que $\left[ M(a,b)\right] ^{-1}$ appartient à $L$.
\item Montrer que si $(a,b)$ et $(a^{\prime },b^{\prime })$ sont des couples
de réels, alors il existe un couple $(a^{\prime \prime },b^{\prime \prime })$
de réels tel que : $M(a,b)\times M(a^{\prime },b^{\prime })=M(a^{\prime
\prime },b^{\prime \prime })$.
\end{enumerate}
\item Les fonctions $\func{ch}$ et $\func{sh}$ sont les fonctions cosinus
hyperbolique et sinus hyperbolique.\newline
Si $t$ est un réel, on pose $N(t)=M(\func{ch}(t),\func{sh}(t))$ et on note $%
L^{\prime }$ l'ensemble des matrices $N(t)$ quand $t$ décrit $\mathbb{R}$%
.\medskip \newline
Montrer que $L^{\prime }$ est un sous-groupe commutatif de $GL_{4}(\mathbb{R}%
)$ (groupe des matrices réelles inversibles d'ordre $4$) et que
l'application $N$ de $\mathbb{R}$ dans $L^{\prime }$ qui à $t$ associe $N(t)$
est un isomorphisme de groupes.
\item Quelle structure algébrique possède l'ensemble $GL_{4}(\mathbb{R})\cap
L$ ?
\item Déterminer $O(4)\cap L$ où $O(4)$ est l'ensemble des matrices réelles
orthogonales d'ordre $4$. \newline
(On rappelle qu'une matrice $A$ est orthogonale si elle vérifie : $%
{}^{t}A\times A=I_{4}$ où ${}^{t}A$ désigne la matrice transposée de la
matrice $A$, et où $I_{4}$ est la matrice unité d'ordre $4$.)
\end{enumerate}
\section*{DEUXIEME PROBLEME}
Dans tout ce problème, $\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des nombres entiers
naturels, et $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.
\subsection*{Partie A}
\textbf{On considère l'équation différentielle : }$y^{\prime }+2xy=1$\textbf{%
.}
\begin{enumerate}
\item De quel type d'équation différentielle s'agit-il ? \newline
On désigne désormais par $f$ l'une de ses solutions sur $\mathbb{R}$,
\textbf{que l'on ne cherchera pas à exprimer pour l'instant.}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Prouver que $f$ est de classe $C^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$.
\item Quelle est la valeur de $f^{\prime }(0)$ ?
\end{enumerate}
\item Montrer que : $\forall n\in \mathbb{N},\ \forall x\in \mathbb{R},\quad
f^{(n+2)}(x)=-2xf^{(n+1)}(x)-2(n+1)f^{(n)}(x)$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ admet en $0$ un développement limité à tout ordre $p$ (%
$p$ entier naturel). Écrivons un tel développement limité au moyen d'une
suite de réels $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$:
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{k=0}^{p}a_{k}x^{k}+o(x^{p}).
\end{equation*}
\item A l'aide du résultat de la question 3, montrer que : $\forall k\in
\mathbb{N},\quad a_{2k+1}={\dfrac{(-4)^{k}.k!}{(2k+1)!}}.$
\item Obtenir également l'expression des termes $a_{2k}$ à l'aide de $f(0)$ (%
$k$ entier naturel).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
\textbf{On considère la fonction de la variable réelle }$D:x\mapsto
D(x)=e^{-x^{2}}\dint\limits_{0}^{x}e^{t^{2}}dt$\textbf{. }
\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que $D$ est une fonction de classe $C^{1}$ sur $%
\mathbb{R}$, et vérifier que $D$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'é%
quation différentielle : $y^{\prime }+2xy=1$.
\item Etudier la parité de $D$.
\item Prouver que : $\forall x\in \mathbb{R}^{+},\quad xe^{-x^{2}}\leqslant
D(x)\leqslant x$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Prouver que : $\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad
\dint\limits_{1}^{x}e^{t^{2}}dt={\dfrac{e^{x^{2}}}{2x}}+{\dfrac{e^{x^{2}}}{%
4x^{3}}}-{\dfrac{3e}{4}}+{\dfrac{3}{4}}\dint\limits_{1}^{x}{\dfrac{e^{t^{2}}%
}{t^{4}}}dt$.
\item Soit la fonction $h:t\mapsto {\dfrac{e^{t^{2}}}{t^{2}}}.$ Montrer que $%
h $ est croissante sur $\left[ 1,+\infty \right[ $. En déduire que :
\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 1,+\infty \right[ ,\quad \dint\limits_{1}^{x}{\dfrac{%
e^{t^{2}}}{t^{4}}}dt\leqslant h(x)\dint\limits_{1}^{x}{\dfrac{1}{t^{2}}}dt,
\end{equation*}%
et qu'au voisinage de $+\infty $ : $\dint\limits_{1}^{x}e^{t^{2}}dt\sim {%
\dfrac{e^{x^{2}}}{2x.}}$ En déduire enfin un équivalent de $D(x)$ au
voisinage de $+\infty $.
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Prouver que $D$ admet un maximum, atteint en un point $b$ de $\mathbb{R%
}_{+}^{\times }$.
\item Montrer que ce maximum est égal à ${\dfrac{1}{2b}}.$
\item En déduire l'unicité du point où le maximum est atteint.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie C}
\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de $D$ l'ensemble des fonctions solutions sur $%
\mathbb{R}$ de l'équation différentielle : $y^{\prime }+2xy=1$.
\item Montrer l'existence d'une unique solution impaire.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}