%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 2000}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve de Mathématiques (toutes filières})\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. \bigskip
\section*{Analyse}
\subsection*{Partie I : Etude de la fonction réciproque de la fonction $%
\tanh $.}
On notera respectivement $\cosh $, $\sinh $ et $\tanh $ les fonctions
cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définies
par :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad \cosh (x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2},\quad \sinh
(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\quad \text{et}\quad \tanh (x)=\dfrac{\sinh (x)}{%
\cosh (x)}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer, en étudiant ses variations, que $\tanh $ est une bijection de
$\mathbb{R}$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à préciser. \newline
On note $\func{artanh}$ « argument tangente hyperbolique » sa réciproque.
\item Exprimer la dérivée de $\tanh $ en fonction de $\tanh $.
\item Démontrer que $\func{artanh}$ est impaire.
\item Démontrer que $\func{artanh}$ est dérivable sur $I$ et calculer sa dé%
rivée.
\item Exprimer $\func{artanh}$ à l'aide de fonctions usuelles.
\item Déterminer un développement limité à l'ordre $5$ de $\func{artanh}$ en
$0$.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II : {Etude d'une équation différentielle}}
Soit l'équation différentielle $(E)$ : $x\,y^{\prime }+3\,y={\dfrac{1}{%
1-x^{2}}}$.
\begin{enumerate}
\item[7] Résoudre $(E)$ sur l'intervalle $J=\left] 0,1\right[ $.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie III : E{tude d'une équation fonctionnelle}}
Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant : \newline
déterminer les fonctions $f$ \underline{définies sur $\mathbb{R}$, à valeurs
réelles et dérivables en $0$} qui vérifient :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\ \quad f(2x)={\dfrac{2f(x)}{1+(f(x))^{2}}}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item[8] Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé.
\item[9] Déterminer les valeurs possibles de $f(0)$ si $f$ est solution.
\item[10] Montrer que, si $f$ est solution, on a $\forall x\in \mathbb{R},\
-1\leqslant f(x)\leqslant 1$.\quad (on pourra exprimer $f(x)$ en fonction de
$f\left( \dfrac{x}{2}\right) $.)
\item[11] Montrer que si $f$ est solution, $-f$ est aussi solution.
\item[13] Montrer que $\tanh $ est solution du problème posé. \medskip
\newline
Dans les questions \textbf{13.} à \textbf{17.}, on suppose que $f$\textbf{\
est une solution du problème posé, que }$f(0)=1$\textbf{\ et que }$f$\textbf{%
\ n'est pas constante.} \medskip \newline
On considère $x_{0}\in \mathbb{R}$, tel que $f(x_{0})\neq f(0)$ et l'on dé%
finit la suite $(u_{n})$ par : $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n}=f\left(
\dfrac{x_{0}}{2^{n}}\right) $.
\item[14] Montrer que la suite $(u_{n})$ est convergente et préciser sa
limite.
\item[15] Etablir une relation entre $u_{n}$ et $u_{n+1}$ ; en déduire que
la suite $(u_{n})$ garde un signe constant, puis étudier sa monotonie
suivant le signe de $u_{0}$.
\item[16] En utilisant les résultats des questions \textbf{13.} et \textbf{%
14.}, aboutir à une contradiction.
\item[17] Que peut-on dire si l'hypothèse «$\,$$f(0)=1$ » est remplacée par
l'hypothèse « $f(0)=-1$ » ?
\item[18] Conclusion ? \medskip \newline
Dans les questions \textbf{18.} à \textbf{22.}, on suppose que \textbf{$f$
est une solution du problème posé et que }$f(0)=0$\textbf{.}
\item[19] En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même
type que celle des questions \textbf{13.} à \textbf{17.}, montrer que :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\ \quad f(x)\neq -1\quad \text{et}\quad f(x)\neq -1.
\end{equation*}%
On définit alors la fonction $g$ par : $\forall x\in \mathbb{R},\quad g(x)=%
\func{artanh}(f(x))$.
\item[20] Montrer que : $\forall x\in \mathbb{R},\ g(2x)=2\,g(x)$.
\item[21] Montrer que $g$ est dérivable en zéro.
\item[22] Soit $x\in \mathbb{R}^{\times }$; on définit la suite $(v_{n})$
par : $\forall n\in \mathbb{N},\quad v_{n}=\dfrac{f\left( \dfrac{x}{2^{n}}%
\right) }{{\dfrac{x}{2^{n}}}}$. \newline
Montrer que $(v_{n})$ est convergente et déterminer sa limite.
\item[23] En déduire que $g$ est linéaire.
\item[24] Déterminer toutes les fonctions solutions du problème posé.
\end{enumerate}
\section*{Algèbre}
\textbf{Les parties I, II et III sont, dans une large mesure, indépendantes.}
\newline
Soit $n$ un entier naturel non nul.
\subsection*{Partie I}
On pose : $A=(X+1)^{2n}-1$, polynôme de $\mathbb{R}[X]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut écrire $A=X\times B$ où $B$ est un polynôme de $%
\mathbb{R}[X]$ dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le
terme constant noté $b_{0}$.
\item Déterminer les racines de $A$ dans $\mathbb{C}$. On posera $z_{0}=0$
et les autres racines $z_{1},z_{2},...,z_{2n-1}$ seront mises sous forme
trigonométrique. \medskip \newline
On pose $P_{n}=\dprod\limits_{k=1}^{n-1}\sin {\dfrac{k\pi }{2n}}$.
\item Montrer, à l'aide d'un changement d'indice, que $P_{n}=\dprod%
\limits_{k=n+1}^{2n-1}\sin \dfrac{k\pi }{2n}$. \newline
En déduire que, si $Q_{n}=\dprod\limits_{k=1}^{2n-1}\sin {\dfrac{k\pi }{2n}}$%
, alors $P_{n}=\sqrt{Q_{n}}$.
\item Calculer de deux façons : $\dprod\limits_{k=1}^{2n-1}z_{k}$. Puis, en d%
éduire $Q_{n}$ et enfin, $P_{n}$.
\item On pose $F={\dfrac{1}{A}}.$ Déterminer la décomposition de $F$ en élé%
ments simples sur $\mathbb{C}$.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II :}
On travaille dans un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ supposé non réduit au
vecteur nul. $\mathcal{L}(E)$ désigne l'ensemble des endomorphismes de $E$, $%
I_{E}$ est l'application identité de $E$ et $\theta $ désigne l'application
nulle. \medskip \noindent Par convention : $\forall f\in \mathcal{L}%
(E),\quad f^{0}=I_{E}$. \newline
On étudie sur quelques cas particuliers, l'équation : $(f+I_{E})^{2n}-I_{E}=%
\theta $ où $f\in \mathcal{L}(E)$ est l'inconnue.
\begin{enumerate}
\item[6] Déterminer les homothéties vectorielles qui sont solutions de l'é%
qua\-tion proposée.
\item[7] En développant $(1+1)^{2n}$ et $(1-1)^{2n}$ déterminer les sommes $%
S=\dsum\limits_{k=0}^{n}{\binom{2n}{2k}}$ et $S^{\prime
}=\dsum\limits_{k=0}^{n-1}{\binom{2n}{2k+1}}$\newline
(la notation ${\binom{n}{k}}$ désigne le coefficient binomial : ${\dfrac{n!}{%
k!(n-k)!}}$.)
\item[8] Si $s$ est une symétrie de $E$, exprimer $(s+I_{E})^{2n}-I_{E}$ en
fonction de $s$ et $I_{E}$. \newline
En déduire les symétries de $E$ solutions de l'équation proposée.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie III :}
On travaille dans $\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{C})$ ensemble des matrices carré%
es d'ordre $3$ à coefficients dans $\mathbb{C}$. \newline
$I$ désigne la matrice identité et $O$ la matrice nulle.\newline
On pose $G=\left\{ M_{a,b}\in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{C})\mid (a,b)\in
\mathbb{C}^{2}\right\} $ où $M_{a,b}$ désigne la matrice $%
\begin{pmatrix}
a & b & b \\
b & a & b \\
b & b & a%
\end{pmatrix}%
$.
\begin{enumerate}
\item[9] Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $\mathfrak{M}_{3}(%
\mathbb{C})$ dont on précisera la dimension et une base ; vérifier que $G$
est stable pour le produit matriciel. \medskip \newline
On cherche à résoudre l'équation matricielle $(\ast )\quad (M+I)^{2n}-I=O$,
avec $M$, matrice inconnue, dans $G$. \medskip \newline
On note $E$ le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}^{3}$ et $\mathcal{B}%
=(e_{1},e_{2},e_{3})$ la base canonique de $E$. \medskip \newline
Soient $M=M_{a,b}$ un élément de $G$ tel que $b\neq 0$, $u$ l'endomorphisme
de $E$ canoniquement associé à $M$ et $I_{E}$, l'application identité de $E$.
\item[10] Déterminer une base $(e_{1}^{\prime })$ de $E_{1}=\ker
(u-(a+2b).I_{E})$.
\item[11] Déterminer une base $(e_{2}^{\prime },e_{3}^{\prime })$ de $%
E_{2}=\ker (u-(a-b).I_{E})$.
\item[12] Montrer que $(e_{1}^{\prime },e_{2}^{\prime },e_{3}^{\prime })$
est une base de $E$ ; on la note $\mathcal{B}^{\prime }$.
\item[13] Déterminer la matrice $D$ de $u$ dans la base $\mathcal{B}^{\prime
}$.
\item[14] On note $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}%
^{\prime }$.\newline
Ecrire $P$ et déterminer $P^{-1}$ en précisant la méthode utilisée et en dé%
taillant les calculs.
\item[15] Exprimer $M$ en fonction de $P$, $D$ et $P^{-1}$.
\item[16] Montrer que : $M$ est solution de l'équation $(\ast )$ si et
seulement si $D$ est solution de l'équation $(\ast )$.
\item[17] Déterminer toutes les matrices $D$ solutions de l'équation $(\ast
) $.
\item[18] En déduire toutes les solutions de l'équation $(\ast )$ dans $G$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}