%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 2005}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve de Mathématiques (toutes filières})\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
\bigskip
\begin{equation*}
\fbox{{\Large L'emploi d'une calculatrice est interdit.}}
\end{equation*}
\section*{PROBLÈME D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE}
Les quatre parties A, B, C, D de ce problème sont totalement indépendantes
entre elles. \medskip \newline
Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère
orthonormé direct \medskip \newline
$\mathcal{R}=(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On note $E$ l'ensemble des points
de l'espace et $E$ l'ensemble des vecteurs de l'espace. Les différentes
coordonnées et équations qui apparaissent dans l'énoncé sont relatives au rep%
ère $\mathcal{R}$. \medskip \newline
Si $\vec{X}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$, on pourra aussi noter $\vec{X}%
=(x,y,z)$ . \medskip \newline
Si $\alpha ,\beta $ et $\delta $ sont trois réels fixés et si $\vec{u},\vec{v%
}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs fixés de $E$, on note $f$ l'application
linéaire de $E$ dans $E$ définie pour tout vecteur $\vec{X}$ de $E$ par :
\begin{equation*}
f(\vec{X})=\alpha (\vec{X}\cdot \vec{u})\vec{v}+\beta \vec{X}+\delta \vec{X}%
\wedge \vec{w}
\end{equation*}
\subsection*{A - Etude de l'intersection de deux plans mobiles et d'un plan
fixe}
On note $\mathcal{D}^{\prime }$ la droite passant par $O$ dirigée par $\vec{a%
}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$, $\mathcal{D}$ la droite d'équations $\left\{
\begin{matrix}
y=z \\
x=1%
\end{matrix}%
\right. $, $Q$ le plan d'équation $y+z=0$ et enfin, pour tout réel $m$, $%
\mathcal{P}_{m}$ est le plan d'équation $x+my-mz=1$.
\begin{enumerate}
\item Donner un vecteur normal $\vec{n}_{m}$ de $\mathcal{P}_{m}$ ainsi
qu'un point et un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.\newline
Vérifier que tous les plans $\mathcal{P}_{m}$ contiennent la droite $%
\mathcal{D}$.
\item Calculer $\vec{r}_{m}=\vec{n}_{m}\wedge \vec{a}$. En déduire que $%
\mathcal{D}^{\prime }$ n'est pas orthogonale à $\mathcal{P}_{m}$. \medskip
\newline
On appelle alors $R_{m}$ l'unique plan contenant $\mathcal{D}^{\prime }$ et
perpendiculaire à $\mathcal{P}_{m}$. Obtenir une équation cartésienne de $%
R_{m}$.
\item Déterminer, pour tout réel m, les coordonnées dans $\mathcal{R}$ de $%
I_{m}$ point d'intersection des plans $\mathcal{P}_{m},Q$ et $R_{m}$.
\item On note $(S)$ d'équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$ et $\Omega $ le point
de $Q$ de coordonnées $\left( \dfrac{1}{2},0,0\right) $.\newline
Préciser la nature géométrique de $(S)$ ainsi que les éléments géométriques
qui le caractérisent.
\item Vérifier que $I_{m}$ appartient à $(S)$ puis que $I_{m}$ appartient à
un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
\item Déterminer l'ensemble $F$ des points $M$ de $\mathcal{E}$ par lesquels
passe un et un seul plan $\mathcal{P}_{m}$. \medskip \newline
Quelle est la réunion des plans $\mathcal{P}_{m}$ lorsque $m$ décrit $%
\mathbb{R}$?
\end{enumerate}
\subsection*{B - Etude d'un exemple d'application $f$}
Dans cette partie \textbf{B}, on prend $\vec{u}=\vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{%
k},\quad \vec{w}=\vec{j}+\vec{k}-5\vec{i},\quad \alpha =3,\quad \beta =-3$
et $\delta =1$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(x,y,z)=(4y+2z,d,e)$ où l'on exprimera $d$ et $e$ en
fonction de $x,y$ et $z$.
\item Déterminer une base et la dimension du noyau de $f$. $f$ est-il un
automorphisme de $E$ ?
\item Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang de $f$.
\item Montrer, dans le cas général, que si $\varphi $ est une application lin%
éaire définie sur le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $G$ où $G$ est engendré
par les vecteurs $\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}$ et $\vec{e}_{3}$, alors l'image
de $\varphi $ est le $\mathbb{R}$-espace vectoriel engendré par les vecteurs
$\varphi (\vec{e}_{1}),\varphi (\vec{e}_{2})$ et $\varphi (\vec{e}_{3})$.
\item Déterminer une base de l'image de $f$.
\item Montrer que $\mathcal{B}^{\prime }=\left( f(f(\vec{i})),f(\vec{i}),%
\vec{i}\right) $ est une base de $E$. Obtenir ensuite la matrice $A^{\prime
} $ de $f$ dans $\mathcal{B}^{\prime }$.
\item Sachant que la matrice de passage $P$ de la base $\mathcal{B}^{\prime
} $ à la base $\mathcal{B}=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est l'une des deux
matrices suivantes :
\begin{equation*}
P_{1}=%
\begin{pmatrix}
16 & 0 & 1 \\
-8 & 2 & 0 \\
16 & 4 & 0%
\end{pmatrix}%
\quad ;\quad P_{2}=\dfrac{1}{32}%
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 1 \\
0 & 8 & 4 \\
32 & 32 & -16%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
préciser, en argumentant votre choix, laquelle est $P$.\newline
Donner le lien matriciel reliant $A=mat_{\mathcal{B}}(f)$ à $A^{\prime
}=mat_{\mathcal{B}^{\prime }}(f)$.
\end{enumerate}
\subsection*{C - Etude d'un deuxième exemple}
Dans cette partie \textbf{C}, on prend $\vec{u}=\vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{%
k},\alpha =-3,\beta =5$ et $\delta =0$.\medskip \newline
On admet qu' alors $M=%
\begin{pmatrix}
2 & -3 & -3 \\
-3 & 2 & -3 \\
-3 & -3 & 2%
\end{pmatrix}%
$ est la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}=(\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\,,\,%
\vec{k}\,)$.\medskip \newline
On rappelle que, par convention, $M^{0}=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{pmatrix}%
=I_{3}$.
\begin{enumerate}
\item Prouver, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$, on
peut trouver deux réels (qu'on notera $a_{n}$ et $b_{n}$) tels que
\begin{equation*}
M^{n}=%
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n} & b_{n} \\
b_{n} & a_{n} & b_{n} \\
b_{n} & b_{n} & a_{n}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}%
On obtiendra ainsi les relations définissant $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en
fonction de $a_{n}$ et de $b_{n}$.
\item En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que pour
tout entier naturel $n$, $b_{n+2}-b_{n+1}-20b_{n}=0$.
\item En déduire la valeur de $b_{n}$ puis celle de $a_{n}$ en fonction de $%
n $.
\item Vérifier que $M^{2}$ est combinaison linéaire de $M$ et de la matrice $%
I_{3}$.\newline
En déduire que $M$ est inversible et expliciter les coefficients de la
matrice $M^{-1}$.
\end{enumerate}
\subsection*{D - Etude d'un troisième cas}
Dans cette partie \textbf{D}, on prend $\beta =\delta =0$. On renomme alors $%
g$ l'application $f$ de l'introduction, soit :
\begin{equation*}
\forall \vec{X}\in E,\quad g(\vec{X})=\alpha (\vec{X}\cdot \vec{u})\vec{v}
\end{equation*}%
où $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls fixés de $E$ et où $%
\alpha $ est un réel non nul.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que si $\alpha (\vec{u}\cdot \vec{v})=1$ alors $g$ est un
projecteur. \medskip \newline
Démontrer ensuite que si $g$ est un projecteur, alors $\alpha (\vec{u}\cdot
\vec{v})=1$.
\item On suppose que $\alpha (\vec{u}\cdot \vec{v})=1$. On note $%
F_{1}=\left\{ \vec{X}\in E:|:\vec{u}\cdot \vec{X}=0\right\} $ et $%
F_{2}=\left\{ \lambda \vec{v},\lambda \in \mathbb{R}\right\} $.\medskip
\newline
Vérifier que $F_{1}$ et $F_{2}$ sont supplémentaires dans $E$ (l'écriture $%
\vec{x}=(\vec{x}-g(\vec{x}))+g(\vec{x})$ pourra être utile).\medskip \newline
Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autre $g$ est-elle alors la
projection ?
\item A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matrice $\Pi _{%
\mathcal{B}}$ dans la base $\mathcal{B}=(\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\,,\,\vec{k}%
\,) $ de la projection $p$ sur $P=\left\{ \vec{X}=(x,y,z)\in
E:|:x+y+z=0\right\} $ parallèlement à la droite $D$ engendré par $\vec{j}+%
\vec{k}-5\vec{i}$.
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME\ D'ANALYSE}
\subsection*{A - Etude de la fonction $f$ telle que $f(x)=0$ si $x=0$ et $%
f(x)=\dfrac{x}{\ln (x)}$ sinon}
\begin{enumerate}
\item Obtenir l'ensemble de définition $D$ de $f$.
\item $f$ est-elle dérivable en $0$ ?
\item Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[0;1[$ .
\item Dresser le tableau de variations de $f$. On y fera apparaître les diffé%
rentes limites et la valeur de $f(e)$ .
\end{enumerate}
\subsection*{B - Etude de la suite $v$ telle que $v_{0}=3$ et $\forall n\in
\mathbb{N},\quad v_{n+1}=\dfrac{v_{n}}{\ln (v_{n})}$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad v_{n}\geqslant e$.
\item Justifier que la suite $v$ converge et déterminer sa limite.
\item Montrer que $\forall x\geqslant e,\quad 0\leqslant f^{\prime
}(x)\leqslant \dfrac{1}{4}$.
\item Enoncer l'inégalité des accroissements finis.
\item Montrer que $\forall n\in \mathbb{N},\quad \left\vert
v_{n}-e\right\vert \leqslant \dfrac{1}{4^{n}}$.
\item Sachant que $4^{5}>1000$, déterminer un entier $n_{1}$ à partir duquel
$v_{n}$ est une valeur approchée de $e$ à $10^{-12}$ près.
\end{enumerate}
\subsection*{C - Etude de la fonction $g$ telle que $g(x)=\dfrac{x^{2}-1}{%
x\ln (x)}$}
\begin{enumerate}
\item On admet que, sur $D\backslash \{0\}$, $g^{\prime }(x)=\dfrac{1+x^{2}}{%
x^{2}\ln ^{2}(x)}h(x)$ où $h(x)=\ln (x)+\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$.\newline
Etudier les variations de $g$.
\item Déterminer la limite de $g$ en 1.
\item Déterminer la position relative de la courbe représentative de $g$ par
rapport à celle de $f$.\medskip \newline
Déterminer l'aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives
de $f$ et de $g$ ainsi que par les droites d'équation $x=2$ et $x=e$.
\end{enumerate}
\subsection*{D - Tracé d'une courbe paramétrée}
On considère $(\Gamma )$ la courbe donnée par le paramétrage $\left\{
\begin{matrix}
x(t)=f(t) \\
y(t)=g(t)%
\end{matrix}%
\right. $ pour $t$ décrivant $D\backslash \{0\}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les asymptotes de $(\Gamma )$ ainsi que la position
relative de $(\Gamma )$ par rapport à celles-ci.
\item Tracer la courbe $(\Gamma )$ en précisant la tangente au point de param%
ètre $t=\mathrm{e}$.
\end{enumerate}
\subsection*{E - Solutions d'une équation différentielle}
On note $(E_{1})$ l'équation différentielle $-x^{2}z^{\prime
}(x)+xz(x)=z^{2}(x)$.\medskip \newline
On recherche les fonctions $z$ solutions de $(E_{1})$ sur $K=]1;+\infty
\lbrack $ et qui ne s'annulent pas sur $K$.
\begin{enumerate}
\item On pose $y=\dfrac{1}{z}$. Vérifier que $y$ est solution sur $K$ d'une é%
quation différentielle linéaire du premier ordre $(E_{2})$.
\item Résoudre $(E_{2})$ sur $K$. On vérifiera ensuite que ces solutions
sont de la forme $g_{a}:x\mapsto \dfrac{\ln (ax)}{x}$.\medskip \newline
Vérifier que, pour $a>1$, $g_{a}$ ne s'annule pas sur $K$. On a donc ainsi $%
z(x)=\dfrac{x}{\ln (ax)}$.
\item Pour $a>0$, on note $(C_{a})$ la courbe représentative de la fonction $%
f_{a}:x\mapsto \dfrac{x}{\ln (ax)}$.\medskip \newline
Montrer que $(C_{a})$ est l'image de $(C_{1})$ par une homothétie de centre $%
O$ dont on précisera le rapport.
\end{enumerate}
\subsection*{F - Etude d'une fonction définie à l'aide d'une intégrale}
On pose $H(x)=\dfrac{1}{x}\dint\limits_{0}^{x}{f(t)}\mathrm{d}t$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $J$ de $H$.
\item Etudier la limite de $H$ en $0$.
\item Justifier qu'il existe un réel $a$ dans $]0;1]$ tel que
\begin{equation*}
\forall x\in \lbrack a;1[,\quad \dfrac{3}{2}(x-1)\leqslant \ln (x)\leqslant
\dfrac{1}{2}(x-1)
\end{equation*}%
En déduire la limite de $H$ à gauche en $1$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}