L'objectif de cette partie est d'aborder la fonction zêta de Riemann et sa célèbre conjecture par l'intermédiare de l'analyse harmonique et de faire le lien à terme avec des problèmes mathématiques classiques (répartition des nombres premiers) et avec des problèmes mathématiques moins classiques (étude des spectres d'opérateurs d'où, en particulier, son importance en physique).

Bien entendu, la fonction zêta est un champs d'étude beaucoup trop vaste pour être étudier exhaustivement (lien avec la géométrie algébrique, systèmes dynamiques, etc.).

Quelques propriétés élémentaires et une application aux nombres premiers en pdf , tex

Résumé :

Nous définissons la fonction zêta sur la bande Re(s)>1 et montrons qu'elle définit une fonction C^{oo} (resp. holomorphe) sur cette bande. Nous démontrons également son développement Eulérien ainsi que certains développements asymptotiques

La formule sommatoire de Poisson en pdf , tex

Résumé :

L'objectif de cette section n'est pas de développer la théorie de la transformation de Fourier (qui sera établi dans un autre article) mais uniquement la définir afin de démontrer une formule fondamentale, la formule sommatoire de Poisson ainsi qu'une relation fonctionnelle. Nous appliquerons ces résultats au prolongement de la fonction zêta.

Une approche heuristique de l'équation fonctionnelle de la fonction zêta en pdf , tex

Résumé :

Nous introduisons dans cet article, la transformation de Fourier sur R ainsi que la transformation de Fourier sur R^{*} qui, si elle est restreinte aux fonctions paires n'est autre que la transformation de Mellin. A l'aide de ces outils, on montre formelle l'équation fonctionnelle de la fonction zêta et nous parlons des conjectures de Riemann. La méthode développée ici a été élaborée par André Unterberger dans l'étude des formes automorphes, ce qui lui a permis de retrouver les équations fonctionnelles des séries d'Eisenstein ainsi que leurs prongements. Elle est très jolie